Ai auzit până acum de „Problema celor două plicuri”, cunoscută și sub numele de paradoxul schimbului. Este vorba despre un paradox în teoria probabilității, de interes deosebit în teoria deciziei.
Pe scurt, enunțul este următorul: imaginează-ți că ți se dau două plicuri identice, fiecare conținând bani. Unul conține de două ori mai mult decât celălalt. Poți alege un plic și păstra banii care sunt în interior. După ce ai făcut alegerea, ai posibilitatea să îți schimbi decizia. O vei face, sau vei rămâne la prima opțiune?
Pare evident că nu are rost niciun rost să schimbi plicurile, pentru că sunt șanse 50-50 să fi făcut alegerea corectă. Pe de altă parte, un calcul simplu folosind valorile așteptate sugerează concluzia opusă, că este întotdeauna indicat să schimbi plicurile, deoarece există o probabilitate mai mare ca în celălalt să fie mai mulți bani.
Raționamentul este următorul:
- Suma din primul plic este notată cu „S”.
- Probabilitatea ca S să fie cantitatea mai mică este 1/2, iar ca S să fie cea mai mare este, de asemenea, 1/2.
- Celălalt plic poate conține fie 2S, fie S/2.
- Dacă S este cantitatea mai mică, atunci celălalt plic conține 2S.
- Dacă S este cantitatea mai mare, atunci celălalt plic conține S/2.
- Astfel, celălalt plic conține 2S cu probabilitate 1/2 și S/2 cu probabilitate 1/2.
În consecință valoarea așteptată a banilor din celălalt plic este:
½ x 2S + ½ x S/2 = 5/4 x S
Rezultatul este supraunitar, deci sunt mai multe șanse ca al doilea plic să fie cel în care sunt mai mulți bani. Paradoxal, nu-i așa?
Unde este greșeala în raționament?
Cu siguranță raționamentul este greșit, iar marea provocare este de a găsi eroarea din el, în contextul în care fiecare pas dintre cei prezentați mai sus pare logic. Puzzle-ul nu se rezolvă prin găsirea unei alte modalități de a calcula probabilitățile care să nu conducă la o contradicție.
Au fost propuse multe soluții. În mod obișnuit, un scriitor propune o soluție la problemă, așa cum sa menționat, după care un alt scriitor arată că problema nu a fost abordată dintr-un unghi corect, iar paradoxul se revigorează. Referitor la „problema celor două plicuri” s-a adunat o adevărată literatură de specialitate, dar nicio soluție propusă nu este acceptată pe scară largă ca fiind obiectiv valabilă.
O modalitate larg discutată de a rezolva paradoxul, atât în literatura populară, cât și în parte în literatura academică, în special în filozofie, este să presupunem că „S” din ultimul pas este intenționat să fie valoarea așteptată în primul plic și că nu ar trebui relaționată cu suma din plicul al doilea
Pasul 7 afirmă că valoarea așteptată în B = 1/2(2S + S/2).
Se subliniază că „S” din prima parte a formulei este valoarea așteptată, având în vedere că plicul A conține mai puțin decât plicul B, dar „S”, în a doua parte a formulei, este valoarea așteptată în A. Defectul argumentului este că același simbol este utilizat cu două semnificații diferite în ambele părți ale aceluiași calcul, dar se presupune că are aceeași valoare în ambele cazuri. Această linie de argumentare a fost introdusă de McGrew, Shier și Silverstein, în 1997.
Paradoxul a derivat din „problema cravatelor”
Astfel de provocări sunt întâlnite și pe platforme precum cazinou online Mr Bit, cei care joacă diverse sloturi fiind invitați să aleagă dintre două sau mai multe obiecte care conțin premii.
„Paradoxul plicului” datează cel puțin din 1953, când matematicianul belgian Maurice Kraitchik a propus un puzzle în cartea sa Recreational Mathematics referitor la doi bărbați la fel de bogați care se întâlnesc și compară cravatele lor frumoase, cadourile de la soțiile lor, întrebându-se care cravată costă mai mulți bani.
Kraitchik introduce și o variantă în care cei doi bărbați compară conținutul servietelor lor. El presupune că fiecare servietă este la fel de probabil să conțină de la 1 până la un număr x de monede, numărul total de monede fiind până la o anumită sumă. Bărbații nu se uită în serviete, ci la fiecare motiv pentru care ar trebui să își schimbe alegerea. El nu explică care este eroarea în raționamentul lor. Nu este clar dacă puzzle-ul a apărut deja într-o ediție anterioară din 1942 a cărții sale.
De asemenea, paradoxul este menționat și într-o carte din 1953 despre matematică elementară și puzzle-uri matematice a matematicianului John Edensor Littlewood, care l-a creditat fizicianului Erwin Schrödinger, unde este vorba despre un pachet de cărți. Fiecare carte are două numere scrise pe ea, jucătorul primește pentru a vedea o parte aleatorie a unei cărți și întrebarea este dacă ar trebui să întoarsă cartea. Pachetul de cărți al lui Littlewood este infinit de mare, iar paradoxul lui este un paradox al distribuțiilor anterioare necorespunzătoare.
